求助 不定积分 ∫dx/[√(2x+3)+1] 和∫[√(1-x^2)]dx/x^2 如何解

第一个：一般换元
令 √(2x+3) = t, 则 2x+3= t^2
dx = tdt
所以
∫1/[√(2x+3)+1]dx

= ∫t/(t+1)dt

= ∫[1 - 1/(t+1)]dt

= t -∫1/(t+1)dt

= t - ln|t+1| + C

= √(2x+3) - ln|√(2x+3)+1| + C

第二个：三角换元
令 x = sint (其中：-π/4 < t< π/4)
则
∫[√(1-x^2)/x^2] dx = ∫[cost/(sint)^2]dsint

= ∫[cost/(sint)^2]dsint

= ∫(cott)^2dt

= ∫[(csct)^2 - 1]dt

= -cott - t +C

= -cot(arcsinx) - arcsinx +C

= -x/√(1-x^2) - arcsinx +C